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数量关系-数学运算

1.思维导图

思维导图 思维导图 思维导图 思维导图

2.数学运算

1.代入排除

1.概述

【知识点】代入排除:平时做题都是从题干出发,列式求解,而代入排除 法是将选项代入到题干中,满足则保留,不满足则排除,即从选项切入求解题 目的方法就是代入排除法。一共四个选项,最多代三项即可确定答案,如 A、 B、C 项均错误,则 D 项一定正确。
1.什么时候用?
(1)题型:年龄、余数、不定方程、多位数。
①年龄:涉及到年龄的问题。
②余数:
引例.一个数,除以 7 余 3,除以 8 余 2,除以 9 余 1,问:这个数可能是 几?
A.10 B.11 C.12 D.13
答:将选项代入,A 项:10/7=1„„3,10/8=1„„2,10/9=1„„1,满 足题意,答案选 A 项。
③不定方程:未知数个数多于方程个数。 引例.3x+2y=10,求:x、y 的值。 A.2、2 B.2、3 C.1、4 D.0、4
答:两个未知数一个方程,为不定方程,将选项代入求解,代入 A 项: 32+22=6+4=10,满足题意,答案选 A 项,若 A 项不满足题意,则继续代入, 直到确定答案。
④多位数:如三位数、四位数等位数较多的数或出现位数的变化。 引例.一个三位数,十位和个位对调,比原来大 9,问:这个三位数可能 是几?
A.120 B.121 C.122 D.123 答:从选项切入。A 项:120 的十位数与个位数对调得到 102,比对调前 小,排除;B 项:121 的十位数与个位数对调得到 112,比对调前小,排除;C 项:122 的十位数与个位数对调得到 122,与对调前一样,排除;D 项:123 的 十位数与个位数对调得到 132,132 比 123 大 9,符合题意。
(2)选项:
①选项信息充分:一组数。如一个选项给了两个数,将选项代入即可求解。
②剩二代一。如 A、B、C、D 四个选项,排除 A、B 项后,代入 C 项,满足 题意则选 C 项,不满足则选 D 项,即剩二代一,必得答案。
(3)题干:主体多、条件复杂,尝试代入。要么跑,要么代入排除求解。
2.怎么用?
(1)先排除(如有四个选项,代入三项比较慢,但若先排除两个选项后, 只需要代入一项即可确定答案):奇偶、倍数、尾数。
(2)再代入:
①最值原则。一个数是 15 的倍数,选项为:A.15,B.30,C.31,D.45, 问这个数最大是多少?即使 A、B、C、D 项均符合条件,也需要选最大的,因 此问最大,从最大的开始代,既快又不容易出错。
②从简原则。A.99,B.100,C.101,D.102,优先代入好算的 100

2.举例

例 2(2017 江西)3 年前张三的年龄是他女儿的 17 倍,3 年后张三的年龄是 他女儿的 5 倍,那么张三的女儿现在( )。
A.2 岁 B.3 岁 C.4 岁 D.5 岁
本题为年龄问题,考虑代入排除法。
例 4(2017 广州)几个朋友相约游泳,男士统一戴白色泳帽,女士统一戴红 色泳帽。每位男士看到的白色泳帽数量与红色泳帽数量一样多,每位女士看到的 白色泳帽数量都是红色泳帽数量的倍数。女士最少有( )人。
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】白色-1=红色,白色=(红色-1)*n。观察发现算式不好求解,且不会解,考虑代入排 除法。题干问“最少”,从最少的选项开始代,代入 A 项验证:红色=1,白色=2, 1-1=0,2 不是 0 的倍数,不满足题意,排除;代入 B 项验证:红色=2,白色=3, 2-1=1,3 是 1 的倍数,满足题意,当选。【选 B】

1. 数字特性法

1.奇偶特性-概述

①在加减法中,同奇同偶则为偶,一奇一偶则为奇。如 5+3=8,5-3=2;5 -4=1,5+4=9
②a+b 与 a-b 的奇偶性相同(和差同性)。如 5+3 为偶数, 5-3 一定为偶数; 如 3+2 为奇数,3-2 一定为奇数;4+2=6 为偶数,4-2=2 为偶数。
(3)引例.共 50 题,答对得 3 分,答错倒扣 1 分,共得 82 分,问答对的 题和答错的题相差多少道?
A.16 B.17 C.31 D.33
在乘法中,一偶则偶,全奇为奇。
3.什么时候用?
(1)不定方程,首先考虑奇偶特性。
(2)知和求差、知差求和。
(3)平分成 2 份(奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数)、偶数倍(如 4x、 6y)。
4.怎么用?
(1)加减:和差同性——a+b 与 a-b 奇偶性相同。
(2)乘:4x、6y 必为偶数;3x、5y 奇偶性不确定。

2.奇偶特性-举例

例 1(2017 辽宁)母亲现在的年龄个位数跟十位数对调再减 10 岁就是儿子 的年龄,再过 3 年母亲的年龄就是儿子年龄的 2 倍,则母亲现在的年龄是( )。
A.53 B.52 C.43 D.42 【解析】例 1.判定题型,年龄问题,考虑代入排除法,要想快,先排再代。 题中出现“2 倍”,即母亲+3=(儿子+3)2,年龄一定是整数,则(儿子+3)2 是偶数,(母亲+3)是偶数,3 为奇数,则母亲的年龄为奇数(同奇同偶才为偶)
例 2(2015 联考)每年三月某单位都要组织员工去 A、 B 两地参加植树活动, 已知去 A 地每人往返车费 20 元,人均植树 5 棵,去 B 地每人往返车费 30 元,人 均植树 3 棵,设到 A 地有员工 x 人,A、B 两地共植树 y 棵,y 与 x 之间满足 y=8 x–15,若往返车费总和不超过 3000 元时,那么,最多可植树多少棵?( )
A.498 B.400 C.489 D.500
【解析】例 2.本题看起来比较复杂,但题中已知 y=8x-15,分析不定方程, 考虑奇偶特性,15 是奇数,8x 是偶数,偶数-奇数=奇数,则 y 为奇数,排除 A、 B、D 项,答案选 C 项。【选 C】 【注意】若选项中有两个奇数时,则代入验证。

3.倍数特性-概述

1.整除基础知识:若 A=BC(B、C 均为整数),则:
(1)A 能被 B 或 C 整除。
(2)B 和 C 均是 A 的约数。
(3)3 的倍数:各位数字相加能被 3 整除,则这个数能被 3 整除。如 12, 各位数字之和为 3如 36,各位数字之和为 9;如 123456,各位数字之和=1+2+3+4+5+6=21
(4)9 的倍数:各位数字相加能被 9 整除,则这个数能被 9 整除。如 18、27、45,各位数字之和均为 9, 如 99963,各位数字之和是 9 的倍数,则 99963 能被 9 整除.
(5)5 的倍数:只看末一位,末一位是 0 或 5 的倍数则能被 5 整数。5
奇数尾数为 5,5偶数尾数为 0。如 53=15,54=20
(6)4 的倍数:看末两位能否被 4 整除(整百的数一定是 4 的倍数)。如 124,末两位为 24,24 能被 4 整除,则 124 能被 4 整除;
(7)不好用口诀的数,考虑因式分解。如 6=2
3,一个数既是 2 的倍数 又是 3 的倍数,一定能被 6 整除,如 132 既是 2 的倍数又是 3 的倍数,则 132 一定能被 6 整除;注意:拆分出的两个数一定要互质(没有除了 1 以外的公约数)
(8)拆分法:如 602,623,628,631,判定以上数字能否被 7 整除,考 虑拆分:602=630-28,623=630-7,628=630-2,631=630+1。630 一定是 7 的 倍数,28 是 7 的倍数,则 602 是 7 的倍数;7 是 7 的倍数,则 623 是 7 的倍数;

2.倍数特性-举例

例 1(2017 福建)如下图,一个正方体的表面上分别写着连续的 6 个整数, 且每两个相对面上的两个数的和都相等,则这 6 个整数的和为( )。
A.53 B.52 C.51 D.50
【解析】例 1.90%的同学做题时的第一反应是找数,但这样做就进入误区了, 从问题入手,问的是“和”,则只看和,已知“每两个相对面上的两个数的和都 相等”,设相对面数字之和为 X,则上+下=左+右=前+后=X,因此总和=3X,可知 总数是 3 的倍数,只有C符合。

【知识点】比例型:如班上男生:女生=3:5,则男生有 3n 人,女生有 5n
人,即男生是 3 的倍数,女生是 5 的倍数;或男生有 3 份的人,女生有 5 份的人。
男生+女生是 3+5=8 份,即总人数是 8 的倍数,女生-男生=5-3=2 份,即男、女
生人数之差为 2 的倍数

例 3(2017 新疆)甲、乙两个班各有 30 多名学生,甲班男女生比为 5:6, 乙班男女生比为 5:4,则甲、乙两班男生总数比女生总数( )。
A.多 1 人 B.少 1 人 C.多 2 人 D.少 2 人
【解析】例 3.读完题干,出现分数的比例关系,想到倍数特性。已知甲、 乙两个班各有 30 多名学生,30 多指的是 31~39 人。根据比例关系,甲班:男/ 女=5 份/6 份,总人数是 30 多人,总人数=男生+女生=11 份,总人数是 30 多又 是 11 的倍数,所以甲班是 33 人。甲班:男生=335/11=15 人,女生=336/11=18 人。乙班:男生/女生=5 份/4 份,总人数是 30 多人,总人数=男生+女生=9 份, 总人数是 30 多又是 9 的倍数,只能乙班是 36 人。乙班:男生=365/9=20 人, 女生=364/9=16 人。两班男生的和-两班女生的和=(15+20)-(18+16)=35-34=1 人,多 1 人,对应 A 项。【选 A】

【注意】1.看见分数、百分数比例关系,想到倍数特殊。 
2.给出总人数范围,比如 a/b,先通过比例算出总人数,再求具体值

例 4(2016 北京)某单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数的 62.5%。 现又有 2 名职工评上中级职称,之后该单位拥有中级及以上职称的人数占总人数 的 7/11。问该单位原来有多少名职称在中级以下的职工?( )
A.68 B.66 C.64 D.60
【解析】例 4.出现分数的比例关系,考虑用倍数特性做题。依题意得,中级 以上/总人数=62.5%,62.5%=50%+12.5%=1/2+1/8=5/8,即中级以上/总人数=5 份 /8 份;总人数不变,问的是中级以下的职工,则中级以下/总人数=3 份/8 份, 中级以下是 3 的倍数,排除 A、C 项。剩下 B、D 项,代入其中一项进行排除,就 简原则,代入 D 项:3 份对应中级以下是 60 人,8 份对应的总人数是 160 人,中 级以上是 100 人。后面中级以上多 2 人,中级以上/总人数=7/11,102/106≠7/ 11,排除 D 项,对应 B 项。

【知识点】余数型:之前考查了 y=3x,A/B=m/n 的形式。出题人不可能照搬
原题,会变形。 
1.若答案=ax±b,则答案∓b 能被 a 整除。(a、x 均为整数)。 
(1)例:苹果每人分 10 个,还剩 3 个,则苹果个数? 
答:设人数为 x,总人数=10x+3,总数-3=10x,此时苹果个数(总数-3)为
10 的倍数。 
(2)例:苹果每人分 10 个,还缺 3 个,则苹果个数? 
答:设人数为 x,总数=10x-3,可以将原式化为总数+3=10x。 
2.出现平均分组有余数的时候,考查余数型

例 5(2016 深圳)两箱同样多的蛋黄派分别分发给两队志愿者做早餐,分给 甲队每人 6 块缺 8 块,分给乙队每人 7 块剩 6 块,已知甲队比乙队多 6 人,则一 箱蛋黄派有( )块。
A.120 B.160 C.180 D.240 【解析】例 5.本题是均分组有余数,为余数型问题。设有 x 块蛋黄派,总 人数=6x-8,总人数+8=6x。利用倍数特性,说明总人数+8 是 6 的倍数。 6 的倍数, 因式分解, 6=23,说明答案+8 既是偶数又是 3 的倍数,四个选项+8 后都是偶数, 只有 B 项+8 是 3 的倍数,对应 B 项。【选 B】
例 6(2014 广东)在某公司年终晚会上,所有员工分组表演节目。如果按 7 男 5 女搭配分组,则只剩下 8 名男员工;如果按 9 男 5 女搭配分组,只剩下 40 名女员工。该公司员工总数为( )。
A.446 B.488 C.508 D.576
【解析】例 6.问公司员工的总数,依题意得,设有 x 组,(7 男+5 女)x+8 男=总人数,可以只看人数不看性别,总人数=12x+8,总人数-8=12x。利用倍数 特性,说明选项-8 是 12 的倍数,因式分解 12=3
4,说明选项-8 应该是 3 和 4 的公倍数。代入排除,选项-8 后是 3 的倍数,只有 A、B 项满足,排除 C、D 项; 剩下两项,代入 A 项:446-8=438,不是 4 的倍数,排除 A 项,只有 B 项符合。 【选 B】

4.方程法-概述

1.普通方程:设 x。
(1)设小不设大(避免分数)。
(2)设中间量(方便列式)。
(3)求谁设谁(避免陷阱)。
2.不定方程:代入排除。
(1)奇偶特性:系数一奇一偶。
(2)倍数特性:系数与常数有公因子。
(3)尾数特性:系数尾数为 5 或者 0。
(4)直接代入选项。
3.不定方程组:
(1)未知数一定是整数,消元。例如人数,书本数。
(2)未知数不一定是整数,赋零法或配系数(先用赋零,不理解这种方法 的多多练习一下)

5.方程法-举例

例 2(2017 江西)某人雇佣了甲、乙、丙三名工人加工一批零件,其中有 8 7 个零件不是甲加工的,有 86 个零件不是乙加工的,有 85 个零件不是丙加工的, 那么甲加工的零件数是( )。
A.42 个 B.43 个 C.44 个 D.45 个
【解析】例 2.根据题意,整理得:乙+丙=87①,甲+丙=86②,甲+乙=85③, 三个方程,三个未知数。把三个方程相加,2(甲+乙+丙)=863,化简得:甲+ 乙+丙=43*3=129④。由④-①得,解得甲=42。【选 A】

【知识点】不定方程组: 
1.第一类:未知数一定是整数的不定方程组。例如人数,书本数。 
2.方法:先消元转化为不定方程。例:a1X+b1Y+c1Z=M①,a2X+b2Y+c2Z=N②,
先消元,转化成 ax+by=z 的形式。再按不定方程求解。

例 4(2017 江苏)某地遭受重大自然灾害后,A 公司立即组织捐款救灾。已 知该公司有 100 名员工捐款,捐款额有 300 元、500 元和 2000 元三种,捐款总 额为 36000 元,则捐款 500 元的员工数是( )。
A.11 人 B.12 人 C.13 人 D.14 人 【解析】例 4.总共有三类员工,分别设捐款 300 的人数为 a 人,捐款 500 的人数为 b 人,捐款 2000 的人数为 c 人,列式为:a+b+c=100①,300a+500b+2 000c=36000②,两个方程三个未知数,是不定方程组,用消元法进行求解。求谁 保留谁,问题求 b 要保留 b。化简②式得:3a+5b+20c=360③;由①*3 得:3a+3 b+3c=300④。由③-④得:2b+17c=60,60 和 2b 都是偶数,说明 17c 一定是偶数。 17 是奇数,则 c 是偶数,解得 c=2,则 2b=26,b=13。【选 C】

【知识点】不定方程组: 
1.第二类:未知数不一定是整数的不定方程(组),求的是时间、金钱,未
知数不是整数,解太多。 
2.方法: 
(1)赋零法:对于未知数不一定是整数的不定方程组,可以赋其中 1 个未
知数为 0,进而快速计算出其他未知数。例如 a+3b+2c=0,2a+8b+12c=0,可以赋
值任意一个数为 0。 
(2)配系数。

例 5(2016 联考)木匠加工 2 张桌子和 4 张凳子共需要 10 个小时,加工 4 张桌子和 8 张椅子需要 22 个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各 10 张,共 需要多少小时?( ) A.47.5 B.50 C.52.5 D.5 【解析】例 5.设加工 1 张桌子为 a 小时,加工 1 张凳子为 b 小时。,加工 1 张椅子 c 小时,整理等量关系得:2a+4b=10①,4a+8c=22②。两个方程三个未知 数。
方法一:配系数。①2 得:4a+8b=20③,②+③得:8a+8b+8c=42,整理得 8 (a+b+c)=42,求的时间是 10 的倍数,则 4210/8=52.5 小时。 方法二:赋零法。2a+4b=10①,4a+8c=22②。设时间不一定是整数,赋值 a=0, 解得 b=2.5, c=2.75。a+b+c=0+2.5+2.75=5.25,时间=5.2510=52.5。【选 C】 【注意】未知数不是整数的情况,有无数组的解,问题问的是时间,答案是 固定的,只需要找最简单的解,赋值为 0 是最简单的。
例 6(2018 上海)现有甲、乙、丙三种货物,若购买甲 1 件、乙 3 件、丙 7 件共需 200 元;若购买甲 2 件、乙 5 件、丙 11 件共需 350 元,则购买甲、乙、 丙各 1 件共需( )元。
A.50 B.100 C.150 D.200
【解析】例 6.问购买甲、乙、丙各 1 件共需的钱数,分别设甲、乙、丙各 1 件的钱数为 a、b、c,根据题意,a+3b+7c=200①,2a+5b+11c=350②。因为钱数 不一定是整数,用赋零法,c 最麻烦,赋 c=0,则 a+3b=200③,2a+5b=350④, ③
2 得:2a+6b=400⑤,由⑤-④,解得 b=50,a=50。求出总的价钱=a+b+c=50+ 50+0=100。【选 B】

3.工程问题+行程问题+溶液问题

1.工程问题

1.概述

1.三量关系:总量=效率*时间。
例:老师每小时搬砖 10 块,则 5 小时搬砖 50 块;或老师搬砖 50 块,耗时 5 小时,则老师每小时搬砖 10 块。
2.切入点:
(1)给定完工时间型。
(2)给定效率比例型。
(3)给定具体单位型。

1.给定完工时间型:

1.方法:
(1)先赋总量(时间的公倍数)。
(2)再算效率=总量/时间。
(3)根据题意完成工作。
2.例:搬完一车砖,小成需要 2 小时,小刘需要 3 小时,现俩人合作,需要 多久?
答:小学、初中学习时会把总量设为 1,则小成效率 1/2,小刘效率 1/3, 此时出现分数,计算较复杂;为方便计算,往往赋值总量为完工时间的公倍数。 赋总量为 2 和 3 的公倍数 6,则小成效率=总量/小成完工时间=6/2=3,小刘效率 =总量/小刘完工时间=6/3=2,所以合作需要的时间=总量/(小成效率+小刘效率) =6/(3+2)=6/5=1.2 小时

2.举例

例 1(2014 江苏)有一项工程,甲、乙、丙分别用 10 天、15 天、12 天可独 自完成。现三人合作,在工作过程中,乙休息了 5 天,丙休息了 2 天,甲一直坚 持到工程结束,则最后完成的天数是( )。
A.6 B.9 C.7 D.8
【解析】例 1.根据“甲、乙、丙分别用 10 天、15 天、12 天可独自完成”, 确定题目属于给定完工时间型工程问题。三步走:(1)赋总量:赋总量为 10、 15、12 的公倍数60。( 2)求效率:甲效率=60/10=6,乙效率=60/15=4,丙效率=60/12=5。 ( 3)再做题:设甲工作了 t 天,根据“在工作过程中,乙休息了 5 天,丙休息了 2 天,甲一直坚持到工程结束”列方程:6t+4* (t-5)+5*(t-2)=60,整理得:15t=90,解得 t=6,对应 A 项。【选 A】
例 2(2017 国考)工厂有 5 条效率不同的生产线。某个生产项目如果任选 3 条生产线一起加工,最快需要 6 天整,最慢需要 12 天整;5 条生产线一起加工, 则需要 5 天整。问如果所有生产线的产能都扩大一倍,任选 2 条生产线一起加工 最多需要多少天完成?( )
A.11 B.13 C.15 D.30
】切入点:给定完工时间型。 1.赋总量:6、12、5 的公倍数:60。 2.求效率:假设 5 条生产线从快到慢:a>b>c>d>e。 (1)最快 6 天(3 条最快):a+b+c=60/6=10。 (2)最慢 12 天(3 条最慢):c+d+e=60/12=5。 (3)五条一起:a+b+c+d+e=60/5=12。 3.再做题:任选 2 条,加工时间最长即效率最低(选最慢的两条 d+e)。

1.给定效率比例型

1.方法:
(1)赋效率(满足比例即可)。
(2)算总量:效率时间=总量。
(3)根据题意完成工作。
2.例:搬一堆砖,小成和小刘的效率比为 2:1,合作 3 小时完成,若交给 小成单独做,问小成需要做多少小时?
答:三步走:(1)赋效率:根据已知效率比,赋小成、小刘的效率分别为 2、 1,也可以赋其他值,但一般是几就赋几最简便。(2)算总量:总量=(2+1)
3=9。 (3)根据题意完成工作:总量/效率=时间,则小成单独做需要 9/2=4.5 小时

2.举例

例 3(2016 深圳)甲、乙二人同时上山砍柴,甲花 6 小时砍了一担柴,乙砍 了一段时间后觉得刀比较钝,于是下山磨了一次刀,磨刀加上山下山共花了一个 小时,磨完后效率提升 50%,总共也花费了 6 个小时砍了同样一担柴,如果甲、 乙二人磨刀之前的效率是相同的,则乙磨刀之前已经砍了( )个小时柴。
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】例 3.根据“磨完后效率提升 50%”“ 甲、乙二人磨刀之前的效率是 相同的”,确定题目为给定效率比例型工程问题。三步走:(1)赋效率:根据“甲、 乙二人磨刀之前的效率是相同的”“ 磨完后效率提升 50%”,赋甲效率为 1,乙磨 刀前效率为 1、乙磨刀后的效率为 1.5。(2)求总量:根据“甲花 6 小时砍了一 担柴”,则总量=61=6。( 3)再做题:设乙磨刀前砍柴 t 小时,注意“磨刀加上 山下山共花了一个小时”,根据题意列方程:1t+1.5(6-1-t)=6,整理得: 0.5t=1.5,解得 t=3,对应 C 项。【选 C】
例 4(2017 北京)某检修工作由李和王二人负责,两人如一同工作 4 天,剩 下工作量李需要 6 天,或王需要 3 天完成。现李和王共同工作了 5 天,则剩下的 工作李单独检修还需几天完成?( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】例 4.已知条件虽然出现了时间,但并不是完成工作总量所需的时 间,所以题目不是给定完工时间型工程问题;根据“剩下工作量李需要 6 天,或 王需要 3 天完成”,即 6
李效率=3王效率,说明李效率:王效率=1:2,确定题 目应为给定效率比例型工程问题。三步走: (1)赋效率:赋李效率为 1,王效率 为 2。( 2)求总量:根据“两人如一同工作 4 天,剩下工作量李需要 6 天,或王 需要 3 天完成”,则总量=(1+2)4+61=18。( 3)再做题:根据“现李和王共同 工作了 5 天”, 设剩下的工作李单独检修还需 t 天,列方程:(1+2)5+t1=18, 整理得:15+t=18,解得 t=3,对应 B 项。【选 B】
例 5(2018 国考)工程队接到一项工程,投入 80 台挖掘机。如连续施工 30 天,每天工作 10 小时,正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨,有 10 天时间 无法施工。工期还剩 8 天时,工程队增派 70 台挖掘机并加班施工。问工程队若 想按期完成,平均每天需多工作多少个小时?( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
【解析】例 5.出现机器,默认每台机器效率相同,确定题目为给定效率比 例型工程问题。三步走: (1)赋效率:每台挖掘机效率为 1。( 2)求总量:总量 =80
30101。(3)再做题:根据“有 10 天时间无法施工”“ 工期还剩 8 天时”, 说明还剩下 18 天的工作量,即还剩下的工作量=8018101;根据“工程队增派 70 台挖掘机并加班施工”,此时效率=80+70=150;设增派挖掘机后每天工作 t 小 时,根据“按期完成”列方程:8018101=1508t1,整理得:180=15t,解 得 t=12,所以每天多干 12-10=2 小时,对应 B 项。【选 B】
例 6(2018 浙江)某蛋糕店接到 300 个蛋糕的订单。已知老板一天能做 30 个蛋糕,店员小红一天只能做 10 个。蛋糕制作过程中,老板有一个周末外出, 小红请了 8 天假,两人在外时间不重叠。问制作这批蛋糕一共花了多少天?( )
A.11 B.12 C.13 D.14
【解析】例 6.出现具体单位,确定题目为给定具体单位型工程问题。根据 “蛋糕制作过程中,老板有一个周末外出,小红请了 8 天假,两人在外时间不重 叠”,说明老板 2 天没工作、小红 8 天没工作,且每天都有人工作,设制作这批 蛋糕一共花了 t 天,则老板工作了(t-2)天,小红工作了(t-8)天,列方程: 300=30
(t-2)+10*(t-8), 整理得:40t=440,解得 t=11,对应 A 项。【选 A】

2.行程问题

1.基础行程

1.概述

1.普通行程:
(1)路程=速度时间(S=VT)。 火车过桥问题:路程=桥长+车长。
(2)平均速度:
①总路程/总时间;
②等距离平均速度=2V1V2/(V1+V2)。

2.举例

例 1(2015 江苏)一列火车途经两个隧道和一座桥梁,第一个隧道长 600 米,火车通过用时 18 秒;第二个隧道长 480 米,火车通过用时 15 秒;桥梁长 800 米,火车通过时速度为原来的一半,则火车通过桥梁所需的时间为( )。
A.20 秒 B.25 秒 C.40 秒 D.46 秒 【解析】例 1.火车过桥问题,路程=桥长+车长=速度(v)时间(t)。根据 “第一个隧道长 600 米,火车通过用时 18 秒”, 则 600+车长=18V①;根据“第 二个隧道长 480 米,火车通过用时 15 秒”,则 480+车长=15V②,① -②得,120=3V, 解得 V=40 米/秒③,③代入②得,车长=120 米。设所求过桥时间为 t,根据“桥 梁长 800 米,火车通过时速度为原来的一半”,则 800+120=40/2t,整理得: 920=20t,解得 t=46,对应 D 项。【选 D】
例 2(2018 国考)一辆汽车第一天行驶了 5 个小时,第二天行驶了 600 公里, 第三天比第一天少行驶 200 公里,三天共行驶了 18 个小时。已知第一天的平均 速度与三天全程的平均速度相同,问三天共行驶了多少公里?( )
A.800 B.900 C.1000 D.1100
【解析】例 2.出现“已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同”, 考虑公式:V=S/t。根据“第一天的平均速度与三天全程的平均速 度相同”列方程:(x+200)/5=(x+200+600+x)/18,解得 x=50。所求三天总路程=x+200+600+x=50+200+600+50=900 公里,对应 B 项。【选 B】
例 3(2015 政法干警联考)甲去北京出差,去时坐飞机,返回时坐高铁。若 飞机的速度比高铁快 3 倍,且往返平均速度为 480 千米/小时,问甲乘坐的飞机 速度为多少千米/小时?( )
A.720 千米/小时 B.768 千米/小时 C.960 千米/小时 D.1200 千米/小时
【解析】往返距离相等,所以考虑等距离平均速度公式:V=2V1V2/(V1+V2)。 根据 “飞机的速度比高铁快 3 倍”, 则飞机的速度是高铁的 4 倍;设高铁速度为 x, 飞机速度为 4x,代入等距离平均速度 公式:2V1V2/(V1+V2)=24xx/(4x+x)=480,整理得 8x/5=480,解得 x=300 千米/小时,则飞机速度=4x=4*300=1200 千米/小时,对应 D 项。【选 D】 【注意】“快 3 倍”应为“是 4 倍”,避免陷阱。

3.相对行程

【知识点】直线相遇:
1.环境:两人同时同向而行(一人在左,一人在右,然后在中间某位置相遇)。
2.公式:S 和=(V1+V2)t。S 和:两人一起跑的距离。
3.(1)例:小黑和小白两人,一人速度为 V1,另一人速度为 V2,最终在中 点相遇,求总路程?
答:则小黑走的路程为 V1t,小白走的路程为 V2t,则路程和S=V1t+V2t=(V1+V2) *t。
【知识点】环形相遇(同点出发):
1.例:老师和你两个人,老师往左走,你往右走,最后在图中所示位置相遇, 假设老师速度为 V1,你的速度为 V2,我走的路程是 V1t,你走的路程是 V2t,则合 走的路程 S 和=(V1+V2)
t。合走的距离为 1 圈,一圈的长度=(V1+V2)t,相当 于相遇 1 次走了 1 圈。
【知识点】直线追及(两人,一人在前,一人在后,后面的人跑得快,追上 了前面的人) :
1.例:小白和小黑跑步,小白在前,小黑在后,小黑速度是 V1,小白速度是 V2,小黑跑了 V1t,小白跑了 V2t,最终两人相遇了,之前两人有路程差(假如两 人相距 10 米,最后把 10 找回来,才能追上),后面追上了,路程差 S 差=V1t-V2t= (V1-V2)
t。
【知识点】环形追及(同点出发):
1.例子:假设老师和你在操场跑步,老师跑的较快,你跑的较慢,老师在环 形上追到了你,则老师比你多跑一圈,S 差=(V1-V2)t。
2.公式:S 差=(V1-V2)
t。
3.追上一次,S 差=1 圈;追上 N 次,S 差=N 圈。
【知识点】多次相遇(直线上,一个左端,一个右端,两端出发):
1.例子:牛郎和织女都从家里出发,两人相遇走了 1 个全程,两人见面,话 不投机,吵了一架,分别继续往前走,走到了对方的家,又回去找对方,返回来 再见面,此时会出现第二次相遇,两人共走了 3 个全程。再返回,两人共走 5 个全程。结论:第 n 次相遇走(2n-1)个全程。
【知识点】流水行船:V 顺、V 逆、V 船、V 水。
1.船顺流而下会比平时快,V 顺=V 船+V 水。
2.船逆流而上,V 逆=V 船-V 水。
3.注意:静水速度(水没有速度,V 水=0,只有船速)=船速,漂流速度(顺 着水漂,V 船=0,只有水速)=水速

3.溶液问题

1.概述

【知识点】溶液问题:
1.假如有 10g 盐融到 90g 水中,变成 100g 盐水,盐为溶质,水为溶剂,盐 水为溶液。
2.公式:
(1)溶液=溶质+溶剂,10g+90g=100g。
(2)浓度=溶质/溶液,10g/100g=10%。
(3)溶质=溶液浓度,100g10%=10g。
(4)溶液=溶质/浓度,10g/10%=100g。

2.举例

例 1(2017 上海)实验室使用浓度为 2%的盐水和蒸馏水,配制浓度为 1%的 淡盐水。现有 1000 克蒸馏水和 500 克浓度为 2%的盐水,则最多可配制( )克 浓度为 1%的淡盐水。
A.500 B.1000 C.1500 D.2000 【解析】例 1.方法一:蒸馏水为纯水,即 0%浓度的水。求最多可配制多少 浓度为 1%的淡盐水,盐水为溶液,要求溶液,由公式:溶液=溶质/浓度,溶质 未知,由公式溶质=溶液浓度,浓度为 2%的盐水 500g,则溶质=500g2%=10g, 溶液=溶质/浓度=10g/1%=1000g。不着急选答案,先检验:1000g 包括 500g 浓度 为 2%的盐水加上 500g 浓度为 0%的纯净水,混合后浓度为 1%,对应 B 项
【知识点】等溶液混合:
1.例子:假如 500g 浓度为 100%的溶液和 500g 浓度为 0%的溶液混合,混合 后会变成 50%;500g 浓度为 40%的盐水和 500g 浓度为 60%的盐水混合,混合后浓 度会变成(40%+60%)/2=50%;500g 浓度为 50%的盐水和 500g 浓度为 30%的盐水 混合,混合后浓度会变成(50%+30%)/2=40%。
2.推导:假如 500g 浓度为 a%的溶液和 500g 浓度为 b%的溶液,浓度=溶质/ 浓度=(500a%+500b%)/1000=(a%+b%)/2。溶质=溶液*浓度。
3.公式:等量溶液混合最终浓度=(a%+b%)/2。

4.周期问题

1.概述

1.周期余数:
(1)识别:出现循环或周期,问第/过 N 个。
(2)方法:明确周期——计算余数——确定结果。
(3)做法:
①明确周期:定起点和周期数。 ②计算余数:总数/周期数。 ③利用余数确定结果:第 N 个——余几数几;过 N 个——余几加几。 (4)第/过的区别:
①例:周一、二、三、四、五,从周一开始,第 1 天是周一,过 1 天是周 二;从周一开始,第 3 天是周三,过 3 天是周四。过 n 天=第 n 天+1。 ②注意:问“第”时,余几数几;问“过”时,余几加几。
(4)例 1:一排气球按照红白蓝的顺序循环排列,第 29 个什么颜色? 答:明确周期:按照红白蓝的顺序循环排列,周期是 3;计算余数:总数 /周期数=29/3=9……2;按红、白、蓝的顺序循环了 9 组,最后余 2 个(红白), 余 2 数 2,则第 29 个是白色。
例 2:今天是礼拜四,再过 29 天是礼拜几?
答:每周都是 7 天,是一个循环,问过 29 天是礼拜几,为周期余数问题。 明确周期:星期的周期是 7;计算余数:29/7=4……1;问“过”,余几加几, 周四+1=周五。
2.周期相遇。
3.短周期。

2.举例

例 1(2016 上海)文化广场上从左到右一共有 5 面旗子,分别代表中国、德 国、美国、英国和韩国。如果将 5 面旗子从左到右分别记作 A、B、C、D、E,那 么从中国的旗子开始,按照 ABCDEDCBABCDEDCBA……的顺序数,数到第 313 个字 母时,是代表( )的旗子。
A.英国 B.德国 C.中国 D.韩国 【解析】例 1.题干给出一个循环,问第几个,判定题型为周期余数问题。
(1)明确周期:定起点——A,周期数——8。
(2)计算余数:总数/周期数 313/8=39……1。
(3)确定结果:第 313 个从 A 开始数 1 个,故第 313 个字母是 A 对应中国。【选 C】
例 2(2014 山西、四川)五名工人按甲—乙—丙—丁—戊的顺序轮流值夜班, 每人值班 1 天休息 4 天。某日乙值夜班,问再过 789 天该谁值班?( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.戊
【解析】例 2.“每人值班 1 天休息 4 天”为一个循环,问再过 789 天该谁 值班,周期余数问题。(1)明确周期,5 个人一人一天,周期为 5。( 2)计算余 数,789/5=(785+4)/5,785/5 余 0,4/5 余 4,余数是 4。注意乙是起点,从乙开始数过 4 天为甲。【选 A】

【知识点】周期相遇(套路题): 
1.识别:出现多个小周期,问再次相遇。 
2.做法:最小公倍数,再按周期余数计算。 
3.注意:每隔 n 天=每(n+1)天。两次相遇之间是过了一个周期。 
4.例 1:小成每 2 天去一次公司,小章每 3 天去一次,1 月 1 日同时出现在
公司,下次同时出现是几月几号? 
答:问再次相遇,这样的表述就是周期相遇问题。小成每 2 天去一次公司,
小章每 3 天去一次公司,若想撞上,则取最小公倍数 6,每 6 天能见一次,若 1
月 1 号见了,则是每 6 天见了两次,所以只能是 1 月 7 号再见一次。每 6 天用
“过”的思想做。 
5.例 2:小成每隔 2 天去一次公司,小章每隔 3 天去一次,1 月 1 日同时出
现在公司,下次同时出现是几月几号? 
答:本题和上题的不同点在于“隔”,例如:老师和我去锻炼,我周一到周
五,每一天都去,老师每隔一天去一次,即每隔 1 天和每 2 天是一样的,每隔 n
天=每(n+1)天.

例 3(2018 北京)有一种电子铃,每到整点就响一次铃,每走 9 分钟亮一次 灯。正午 12 点时,它既亮灯又响铃。它下一次既响铃又亮灯是下午几点钟?( )
A.1 点钟 B.2 点钟 C.3 点钟 D.4 点钟
【解析】周期相遇问题。先找最小公倍数,60 和 9 的最小公倍数为 180,每 180 分钟相遇一次, 180 分钟是 3 小时,12 点再过 3 小时是 3点钟。【选 C】

【知识点】短周期: 
1.识别:周期较短(一个月左右)。 
2.做法:枚举。

5.排列组合

1.基础题型

1.概述
【知识点】排列组合:两组概念、五种题型。 
1.分类与分步: 
(1)分类(要么……要么……)相加→只会有一种情况发生。 
如:老师从北京去上海玩,可以坐火车,还可以坐飞机去,也可以走着去,要么坐火车,要么坐飞机,要么走路,只能发生一种,用相加,一共有三种情况。 
(2)分步(先……后……)相乘→都发生。 
如:老师到上海后,从上海到广州玩,可以坐飞机,还可以坐火车去,也可以走着去,从北京到上海是三种方式,上海到广州也是三种方式,用乘法,3*3=9 种。 
(3)两者核心区别是:分类只能发生一种,用加法;分步是两者都要发生,用乘法。 
2.排列与组合。 
(1)排列:与顺序有关;组合:与顺序无关。 
例如:从 63 里取 3 个人,有顺序用 A(63,2),没顺序用 C(63,2)。假如三个人去领奖,一等奖一亿,二等奖一万,三等奖一毛,三个人的顺序对结果有影响,与顺序有关用排列(A)。
选出三个人去打扫卫生,谁先谁后无所谓,此时与顺序无关,用组合(C)。 
(2)判定标准:从主体当中任意的挑出两个,调换顺序。对结果有影响,与顺序有关(A);对结果无影响,与顺序无关(C)。 
3.例 1:从七个葫芦娃中,任选两个一起去救爷爷。 
答:不管选谁都是去救爷爷,顺序对结果无影响,用 C,7 个人中选 2 个为 C(7,2)。 
4.例 2:从七个葫芦娃中,任选两个一起去救爷爷(第一个去探路,第二个去打架)。 
答:有明确分工,顺序有影响,用 A(7,2)。 
4.计算: 
(1)A(7,2)=7*6(从大数开始乘,乘 2 项),A(7,3)=7*6*5(从大数开始乘,乘 3 项),A(10,5)=10*9*8*7*6(从大数开始乘,乘 5 项)。 
(2)C(7,2)=7*6/(2*1),C(7,3)=7*6*5/(3*2*1),C(10,5)=10*9*8*7*6/(5*4*3*2*1)。 
(3)C(7,2)=7*6/(2*1)=21,C(7,5)=7*6*5*4*3/(5*4*3*2*1)=21。C(n,2)=C(n,n-2), C(7,3)=C(7,4),C(9,7)=C(9,2)。 
(4)A(5,1)=5,C(5,1)=5。A(n,1)=n,C(n,1)=n。 
2.举例

例 1(2018 吉林甲)一位女士为了寻找曾经帮助她的司机,向新闻媒体提供 了她记得的车牌信息。女士看到的车牌号为“吉 AC**”,最后一位是字母,其 他三位全是奇数,且数字逐渐变大,那么符合要求的车牌有( )。
A.380 个 B.260 个 C.180 个 D.460 个
10 以内的奇数有 1、3、5、7、9,共 5 种情况,数字要逐渐变大,即三个数字各不相同, 只要选出三个数,顺序直接就固定了,如:(3、5、7)、(5、 7、 9),所以只需把三个数选出来,顺序有且只有一种,为 C(5,3), C(5,3)26=543/(321)26=1026=260。【选 B】
例 2(2018 浙江)某班共有 8 名战士,现在从中挑出 4 人平均分成两个战斗 小组分别参加射击和格斗考核,问共有多少种不同的方案?( )
A.210 B.420 C.630 D.840
【解析】例 2.方法一:8 个人中选 4 个,此时没有分任务,和顺序无关,用C,为 C(8,4)。 4 个人中选 2 人射击,例:选詹姆斯和 REN 去射击,先选谁对结果没有影响,都是去练射击,用 C,为 C(4,2)。 剩下的 2 个人没有选择,只能去格斗,为 C(2,2)。结果为 C(8,4)
C(4,2)C(2,2)=(8765/4321)(43/21)1=7061=420。
例 3(2017 吉林)罐中有 12 颗围棋子,其中 8 颗白子,4 颗黑子。从中任 取 3 颗棋子。则至少有一颗黑子的情况有( )。
A.98 种 B.164 种 C.132 种 D.102 种
【解析】例 3.方法一:取出 3 颗,至少一颗黑子,可以为 1 黑 2 白、2 黑 1 白、3 黑。 (1)1 黑 2 白:C(4,1)
C(8,2)=4(87/2)=112; (2)2 黑 1 白: C(4,2)C(8,1)=43/2*8=48; (3)3 黑:C(4,3)=C(4,1)=4,112+48+4=164。

2.特殊题型

1.概述
1.要相邻(捆绑法)。 
(1)例 1:全排列:李雷、韩梅梅、路人甲、路人乙、路人丙。 
①五个人站一排照相?
答:照相时顺序有关系,有 A(5,5)=5*4*3*2*1=120 种情况。 
②五个人选出三个人站一排照相? 
答:和顺序有关,有 A(5,3)=5*4*3=60 种情况。也可以先把人挑出来,
再排列,先从 5 个人中挑出 3 个人 C(5,3), 3 个人 3 个位置全排列 A(3,3),
C(5,3)*A(3,3)=5*4*3/(3*2*1)*3*2=10*6=60。 
例 2:相邻:李雷、韩梅梅、路人甲、路人乙、路人丙,五人站排,李雷和韩梅梅挨着,有几种情况? 
答:先把李雷和韩梅梅捆一起,要么是李雷在左韩梅梅在右,要么是韩梅梅在左李雷在右,这两人有顺序,用 A(2,2),
把他们看成一个大胖子,大胖子、甲、乙、丙排列,为 A(4,4),先捆再排用乘法,则一共有 A(2,2)*A(4,4)=2*4*3*2*1=48 种情况。 
(2)方法(捆绑法): 
①先捆,把相邻的捆绑起来,考虑内部顺序。 
②后排,把捆后的“胖子”与其他排列。 
2.不相邻(插空法)。 
3.同素分堆(公式)。 
4.错位排列(结论)。 
5.枚举法。 
2.举例

例 1(2018 联考)两对夫妇各带一个小孩乘坐有 6 个座位的游览车,游览车 每排只有 1 个座位。为安全起见,车的首尾两座一定要坐两位爸爸;两个小孩一 定要排在一起。那么,这 6 人的排座方法有( )。
A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种
【解析】例 1.“车的首尾两座一定要坐两位爸爸”,即两位爸爸要么一个坐 1、一个坐 6,要么一个坐 6、一个坐 1,有 2 种情况,或者 A(2,2)=2;再排中 间,与两位爸爸无关,不需要再考虑。中间是 4 个人,“两个小孩一定要排在一 起”,先把他们捆起来,即 A(2,2);捆起来的小孩相当于一个大胖子即一个整 体,再和两位妈妈排在一起,相当于 3 个人,即 A(3,3)。先排两位父亲再捆两 个小孩再排两位母亲,有先有后,分步用乘法,即 2A(2,2)A(3,3)=24,对 应 B 项。【选 B】

【知识点】不相邻: 
1.例:李雷、韩梅梅、路人甲、路人乙、路人丙,五人站排,李雷和韩梅梅不挨着,有几种情况? 
答:先排甲、乙、丙,三个人排序,即 A(3,3)。三个人形成 4 个空(包括头和尾的空),把李雷和韩梅梅放进这 4 个空中,可以保证李雷和韩梅梅不相邻,
将李雷和韩梅梅放入 4 个空中的 2 个。“李雷在左、韩梅梅在右”和“韩梅梅在左、李雷在右”是不一样的,有顺序,即 A(4,2)。总情况数=A(3,3)*A(4,2)=6*4*3=72。 
2.方法(插空法): 
(1)先排:将可以相邻的进行排列,排列后形成若干个空位。 
(2)再插:将不相邻的插入到形成的空位中去。 

例 2(2017 联考)某兴趣组有男女生各 5 名,他们都准备了表演节目,现在 需要选出 4 名学生各自表演 1 个节目,这 4 人中既要有男生,也要有女生,且不 能由男生连续表演节目,那么,不同的节目安排有多少种?( )
A.3600 B.3000 C.2400 D.1200
【解析】例 2.要选 4 个人,要求既要有男生,也要有女生,先分类讨论:1 个男生、3 个女生;2 个男生、2 个女生;3 个男生、1 个女生。

【知识点】同素分堆(插板法): 
1.例:7 个相同的苹果分给三个小朋友,每人至少分一个,有多少种分法? 
答:枚举太费时间,很难保证不出错。分给三个小朋友,即分成三堆,插入两块板子,自然而然把这些苹果分成三堆。左右两边的空位不能放板子,两个板
子不能放在同一个空中,7 个苹果中间有 6 个空,把两块板子放在这 6 个空中,把板子对调,对结果没有影响,用 C,即 C(6,2)=(7-1,3-1)。 
2.方法(插板法): 
(1)N 个元素有 N-1 个空位,分 M 堆,需要 M-1 个板子。 
(2)至少分一个共有 C(N-1,M-1)方法。 
3.例: 9 个苹果分给 4 个小朋友,每人至少分一个,即(9-1,4-1)=C(8,3);
20 个苹果分给 5 个小朋友,每人至少分一个,即 C(20-1,5-1)=C(19,4)。

例 3(2016 深圳事业单位)将 9 封相同的信投入 3 个不同的信箱,且每个信 箱至少投入一封信,不同的投法有( )种。
A.18 B.21 C.28 D.36 【解析】例 3.插板法,C(n-1,m-1)=C(9-1,3-1)=C(8,2)=87/(21)=28,对应 C 项。【选 C】

【知识点】同素分堆: 
1.例:10 个相同的苹果分给三个小朋友,每人至少分两个,有多少种分法? 
答:转化的思想,把未知的问题转化为已知的问题。先给每人分一个,还剩10-3=7 个苹果,此时每人还需要至少一个,
即 7 个苹果分给 3 个小朋友,每人至少分一个,C(7-1,3-1)=C(6,2)=6*5/2=15。 
2.例:10 个相同的苹果分给三个小朋友,每人至少分三个,有多少种分法? 
答:先给每人分两个,转化为每人至少分一个的情况。 
3.例:20 个相同的苹果分给 3 个小朋友,每人至少分 4 个,有多少种分法? 
答:先每人分 3 个,还剩 20-3*3=11 个苹果。再按照每人至少一个去分,分给 3 个小朋友,即 C(11-1,3-1)=C(10,2)=10*9/2=45 种。 
4.方法(插板法):
(1)至少 n 个,每人先分(n-1)个。 
(2)剩下的再按照至少分 1 个分,用公式做。
【知识点】错位重排:这个题型自己推导很难,只需要记住结论。 
1.例:你做了一道菜,每个人都不吃自己的,有几种情况? 
答:自己不能吃自己的,有 0 种情况。 
2.例:你、我都做了一道菜,每个人都不吃自己的,有几种情况? 
答:两人换着吃,有 1 种情况。 
5.结论:元素个数 1、2、3、4、5、6,对应的错排数 0、1、2、9、44、265。

6.概率问题

1.概述

1.公式:概率=满足/全部。
2.例:3 个绿球、2 个黄球、5 个红球,球都一样,随便摸一个,摸到绿球的概率? 答:概率=满足/总体,满足情况数是摸到绿球的概率,即 3/(3+2+5) =3/10。 摸到红球的概率为 5/10=1/2。

2.举例

例 1(2018 联考)某单位工会组织桥牌比赛,共有 8 人报名,随机组成 4 队, 每队 2 人。那么,小王和小李恰好被分在同一队的概率是( )。
A.1/7 B.1/14 C.1/21 D.1/28
【解析】例 1.概率问题,P=满足的情况数/总情况数,满足情况是“小王和 小李分在同一队”,先把小王随便分到一队,要想满足“小王和小李分在同一队”, 则小王的旁边一定是小李,小王旁边坐小李只有 1 种情况,总情况数是小王旁边 的座位可以坐几个人,剩下 7 人都可以坐,即P=满足的情况数/总的情况数=1/7, 对应 A 项。【选 A】

【知识点】给概率求概率: 
1.例:粉笔征集年会的节目,老师也去参加,得一等奖的概率是 0.1;得二
等奖的概率是 0.2;得三等奖的概率是 0.3。问老师得奖的概率是多少(三个奖
不能同时得)? 
答:老师要么得一等奖,要么得二等奖,要么得三等奖,分类情况,概率
=0.1+0.2+0.3=0.6。 
2.例:年会之后有抽奖环节,抽到奖的概率是 50%,老师运气比较好,问既
得奖又抽到奖的概率是多少? 
答:先得奖,后抽到奖,同时发生,分步相乘,概率=0.6*0.5=0.3。 
3.方法:(1)分类加和。( 2)分步相乘。 

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